Integral dan Sejarah Perkembangannya

Konsep Integral

Integral adalah sebuah konsep penjumlahan secara berkesinambungan dalam matematika, dan bersama dengan inversnya yaitu diferensiasi adalah satu dari dua operasi utama dalam kalkulus. Integral dikembangkan menyusul dikembangkannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir
bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Integral juga merujuk pada antiturunan, mis. sebuah fungsi F memiliki turunan yaitu fungsi f maka fungsi F adalah antiturunan dari fungsi f. Integral dilambangkan dengan ∫ dan integral terdiri dari integral tentu dan taktentu.

Integral tentu dinotasikan sebagai:, dimana f adalah suatu fungsi dari variabel x dengan interval [a, b]. Integral tentu tersebut didefinisikan sebagai area yang dibatasi oleh kurva f, sumbu-x, sumbu-y dan garis vertikal x = a dan x = b, dengan area yang berada di atas sumbu-x bernilai positif dan area yang berada dibawah sumbu-x bernilai negatif. Area tersebut diilustrasikan seperti pada gambar dibawah ini.

       Integral tak tentu dinotasikan sebagai:, dimana f adalah suatu fungsi dari variabel x tetapi f tidak dibatasi pada suatu interval tertentu seperti pada pada integral tentu.

Prinsip-prinsip dan teknik integrasi dikembangkan terpisah oleh Isaac Newton dan Gottfried Leibniz pada akhir abad ke-17. Melalui teorema fundamental kalkulus yang mereka kembangkan masing-masing, integral terhubung dengan diferensial: jika f adalah fungsi kontinu yang terdefinisi pada sebuah interval tertutup [a, b], maka, jika antiturunan F dari f diketahui, maka integral tertentu dari f pada interval tersebut dapat didefinisikan sebagai:

   Sejarah Perkembangan Integral

Dalam sejarah matematika, integral lebih dikenal sebagai anti-diferensial atau yang kita kenal juga sebagai anti-turunan. Dengan kata lain integral adalah kebalikan dari turunan. Baik integral ataupun differensial, keduanya merupakan bagian dari ilmu Kalkulus dalam Matematika. Menurut sejarah, tokoh yang mengembangkan dan memperkenalkan konsep differensial dan anti-differensial (integral) dalam ilmu matematika adalah Gottfried Wilhelm Leibniz, atau lebih dikenal dengan Leibniz saja.

Lambang integral seperti cacing berdiri dahulunya dikenal dengan “Notasi Leibniz”, karena Leibnizlah yang memperkenalkan konsep integral dalam Matematika. Lambang integral seperti ini: ∫, diambil dari huruf pertama nama Leibniz, yaitu huruf “L”, namun pada zaman dahulu orang menuliskan huruf “L” dalam bentuk yang indah. 

Sejak ilmu matematika berkembang dari abad sebelum masehi sampai abad sesudah masehi  juga sampai sekarang  jaman modern.  Ilmu  tentang integral mengalami perkembangan yang cukup bagus. Dari integral yang dikembangkan oleh Leibnizh pada abad sesudah masehi sampai integral yang kembangkan oleh Henstock-kurzweill jaman modern sekarang ini . menurut sejarahnya, orang yang tercatat pertama kali mengemukakan ide tentang integral adalah Archimides, seorang ahli matematika bangsa Yunani yang berasal dari Syracusa (287 – 212 SM). Ia menggunakan ide itu untuk menghitung luas daerah lingkaran, daerah yang dibatasi parabola dan tali busur, dan sebagainya.

Hitung integral merupakan metode matematika dengan latar belakang sejarah yang cukup unik. Banyak ilmuwan, baik matematika maupun non-matematika, yang berminat terhadap perkembangan matematika hitung integral, di antrannya sebagai berikut.

1.    Archimedes (287-212 SM), seorang fisikawan sekaligus matematikawan dari Syracuse, Yunani. Pada abad kedua sebelum masehi, Archimedes talah menemukan ide penjumlahan untuk menentukan luas sebuah daerah tertutup dan volume dari benda putar. Diantaranya adalah rumus lingkaran, luas segmen parabola, volume bola, volume kerucut, serta volume benda putar yang lain. Ide penjumlahan ini merupakan salah satu konsep dasar dari Kalkulus Integral.

2.      Ibn Al-Haytham atau Alhazen (sekitar tahun 1000), seorang matematikawan Irak. Ia menjadi orang pertama yang menurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat dan dengan menggunakan induksi matematika, ia mengembangkan suatu metode untuk menurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral yang sangat penting terhadap perkembangan kalkulus integral.

3.        Isaac Newton (1642-1727 M), seorang matematikawan sekaligus fisikawan dari Inggris. Isaac Newton dan Gottfried wilhelm Leibniz dalam kurun waktu yang hampir bersamaan, meskipun bekerja sendiri-sendiri, telah menemukan hubungan antara Kalkulus Differansial dan Kalkulus Integral. Walaupun konsep luas daerah yang dibatasi oleh kurva tertutup (integral tertentu) telah lebih dahulu diketahui, tetapi I Newton dan Leibniz merupakan dua tokoh terkemuka dalam sejarah Kalkulus. Sebab, mereka mampu mengungkapkan hubungan yang erat antara antiderivatif dengan intagral tertentu. Hubungan ini dikenal dengan Teorema Dasar Kalkulus.

4.     Gottfried wilhelm Leibniz (1646-1716 M), seorang ilmuwan jenius dari Leipzig, Jerman. Leibniz seorang ilmuwan serba-bisa. Ia mendalami bidang hukum, agama, filsafat, sejarah, politik, geologi, dan matematika. Selain Teorema Dasar Kalkulus yang dikembangkan bersama Newton, Leibniz juga terkenal dengan pemakaian lambang matematika. Lambang dx/dy bagi turunan dan lambang ∫ bagi integral merupakan lambang-lambang yang diusulkan oleh Leibniz dalam Hitung Differensial dan Hitung Integral.

5.      George Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866 M), seorang matematikawan dari Gottingen, Jerman. Meskipun Teorema Dasar Kalkulus telah dikemukakan oleh Newton, namun Riemann memberi definisi mutakhir tentang integral tentu. Atas sumbangannya inilah integral tentu sering disebut sebagai Integral Riemann.

Sumber:

https://id.wikipedia.org/wiki/Integral

https://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus
http://sanz-shared.blogspot.co.id/2012/10/sejarah-dan-asal-usul-integral.html